ch06_variational_optimized

第六章　变分推断（优化版） §

Chapter 6   Variational Inference (Optimized) §

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一句话总结（TL;DR）

MAP 只找后验分布的”顶点”；GVI（高斯变分推断）用一个高斯分布去最好地”覆盖”整个后验，同时还能自动学习模型参数。

阅读路径建议：

• 🟢 快速浏览：读完”直觉图解”即可把握核心思想
• 🔵 理解算法：阅读”概念层”的公式和解释
• ⚫ 深度推导：展开”推导层”查看完整数学

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6.1 为什么 MAP 不够用？ §

🎯 直觉：山谷的顶点 vs. 山谷的形状 §

想象你要研究一个山谷（后验分布 $p(\mathbf{x}|\mathbf{y})$）：

• MAP 的做法：找到谷底最低点。只告诉你”最可能在哪里”。
• GVI 的做法：用一个椭球（高斯分布）去最好地覆盖整个山谷。不仅告诉你”最可能在哪里”，还告诉你”周围有多大范围都是可能的”。

MAP 的两个局限：

1. 非线性模型下，后验不是高斯的，MAP 的拉普拉斯协方差只是粗糙近似
2. MAP 无法自动学习噪声协方差等模型参数

GVI 解决了这两个问题。

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🔑 概念层：三种方法的精度阶梯 §

方法	用几个点近似期望	从哪里取样	精度
MAP / EKF	1 个（仅均值处）	—	最低
SPKF（UKF）	$2N+1$ 个 sigma 点	先验 $\check{\mathbf{P}}$	中
GVI	$2N+1$ 个 sigma 点	后验 $\hat{\mathbf{P}}$（迭代更新）	最高

关键区别：GVI 的 sigma 点从当前估计的后验中取，而 SPKF 从先验取。后验通常比先验更窄，对非线性的近似更精确。

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6.2 KL 散度：如何度量”两个分布有多接近” §

🎯 直觉：单向测量 §

KL 散度衡量”用 $q$ 近似 $p$ 有多大的信息损失”。它不是对称的！

$\text{KL}(q\Vert p)\ne \text{KL}(p\Vert q)$

为什么选 $\text{KL}(q\Vert p)$ 而不是 $\text{KL}(p\Vert q)$？

• $\text{KL}(q\Vert p)$：期望对 $q$（我们自己的高斯） 取 → 可计算
• $\text{KL}(p\Vert q)$：期望对 $p$（真实后验） 取 → 不可计算（真实后验本来就是未知的！）

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🔑 概念层：损失函数 §

展开 $\text{KL}(q\Vert p)$，去掉常数项，得到我们实际要最小化的目标：

$V(q)=\underset{\text{数据拟合}}{\underbrace{E_q[\varphi (\mathbf{x})]}}+\underset{\text{熵惩罚（防止过度自信）}}{\underbrace{\frac{1}{2}\ln |{\mathbf{\Sigma }}^{-1}|}}$

其中 $\varphi (\mathbf{x})=-\ln p(\mathbf{x},\mathbf{y})$ 是联合分布的负对数似然。

两项的直觉：

• 第一项：鼓励高斯 $q$ 集中在数据似然高的区域（往真实后验靠近）
• 第二项：防止 $q$ 变成”无限窄的尖峰”（防止过度自信）
• 两者的平衡 = 最优高斯近似

这个 $V(q)$ 等于负 ELBO（证据下界）。最小化 $V(q)$ 等价于最大化 ELBO。

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📐 推导层：KL 散度展开 §

展开：从 KL 散度到损失函数

$\text{KL}(q\Vert p)=E_q[\ln q(\mathbf{x})-\ln p(\mathbf{x}|\mathbf{y})]$

$=E_q[\ln q(\mathbf{x})]-E_q[\ln p(\mathbf{x},\mathbf{y})]+\ln p(\mathbf{y})$

其中 $\ln p(\mathbf{y})$ 是常数（与 $q$ 无关）。去掉常数，最小化：

$V(q)=E_q[\varphi (\mathbf{x})]-E_q[\ln q(\mathbf{x})]$

对于高斯 $q=\mathcal{N}(\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })$，其熵为：

$-E_q[\ln q(\mathbf{x})]=\frac{1}{2}\ln |\mathbf{\Sigma }|+\text{const}=-\frac{1}{2}\ln |{\mathbf{\Sigma }}^{-1}|+\text{const}$

因此 $V(q)=E_q[\varphi (\mathbf{x})]+\frac{1}{2}\ln |{\mathbf{\Sigma }}^{-1}|$。

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6.3 GVI 优化：迭代牛顿法 §

🎯 直觉：比 MAP 更聪明的迭代 §

MAP 的牛顿迭代：每步在当前均值点处计算梯度和 Hessian。

GVI 的迭代：每步在当前后验分布的多个 sigma 点处计算期望，得到更准确的梯度和 Hessian。

两者的更新形式相同，差别只在于”用一个点”还是”用多个点”来近似期望。

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🔑 概念层：GVI 更新公式 §

对 $V(q)$ 关于均值 $\mathbf{\mu }$ 和精度矩阵 ${\mathbf{\Sigma }}^{-1}$ 求导，令其为零：

新的精度矩阵（= 期望 Hessian）： ${\mathbf{\Sigma }}^{-1(i+1)}=E_{q^{(i)}}\left[\frac{{\partial }^2\varphi (\mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}\partial {\mathbf{x}}^T}\right]$

均值更新（解线性方程组）： ${\mathbf{\Sigma }}^{-1(i+1)}\delta \mathbf{\mu }=-E_{q^{(i)}}\left[\frac{\partial \varphi (\mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}}\right]$

${\mathbf{\mu }}^{(i+1)}={\mathbf{\mu }}^{(i)}+\delta \mathbf{\mu }$

与 MAP 的联系：若用 $q^{(i)}$ 的均值处的函数值近似期望（即只用 1 个点），则 GVI 退化为 MAP 的牛顿迭代。MAP 是 GVI 的极端退化情形。

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🧮 数值示例：立体相机测距 §

场景：立体相机观测距离 $d=26$ 米处的目标，观测模型非线性： $y=\frac{fb}{d}+\text{噪声}$

真实后验均值 ≈ 24.777 m（通过 Monte Carlo 计算）

方法	估计均值	偏差
MAP / EKF	24.569 m	-33 cm（大偏差）
ISPKF	24.741 m	-3.8 cm
GVI	24.779 m	+0.3 cm（极小！）

结论：同样的数据，GVI 的偏差比 MAP 小 100 倍以上。

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6.4 ESGVI：大规模问题的稀疏性 §

🎯 直觉：时间链的局部依赖 §

对于一条机器人轨迹：时刻 $k$ 只和时刻 $k-1$、$k+1$ 直接相关（马尔可夫性）。

这意味着：

• 联合似然可以因子化：$\varphi (\mathbf{x})={\sum }_k{\varphi }_k({\mathbf{x}}_k)$
• 精度矩阵 ${\mathbf{\Sigma }}^{-1}$ 是块三对角（大部分是零！）
• 我们不需要计算完整的 $N\times N$ 协方差矩阵

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🔑 概念层：精确稀疏 GVI（ESGVI） §

关键性质：当似然可以因子化时，期望计算只需要局部边缘分布：

$E_q\left[\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial \mathbf{x}\partial {\mathbf{x}}^T}\right]={\sum }_k{\mathbf{P}}_k^T{E}_{q_k}\left[\frac{{\partial }^2{\varphi }_k}{\partial {\mathbf{x}}_k\partial {\mathbf{x}}_k^T}\right]{\mathbf{P}}_k$

其中 $q_k({\mathbf{x}}_k)=\mathcal{N}({\mathbf{\mu }}_k,{\mathbf{\Sigma }}_{kk})$ 是局部边缘高斯——比全局 $q$ 维数小得多！

ESGVI 算法流程：

初始化 μ, Σ⁻¹（可由 MAP 提供）
重复直到收敛：
  ① 对每个因子 k：
     - 从局部边缘 q_k = N(μ_k, Σ_kk) 生成 sigma 点
     - 计算局部期望（φ_k 的一阶、二阶期望）
  ② 组装全局精度矩阵 Σ⁻¹（块三对角）
  ③ LDL^T 分解 Σ⁻¹
  ④ 前后向代入求解 Σ⁻¹ δμ = -梯度
  ⑤ Takahashi 后向代入恢复所需的 Σ 子块
  ⑥ 更新 μ ← μ + δμ

计算复杂度：与 MAP 同阶 $O(N^{3}K)$，只有常数倍差距。

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📐 推导层：Takahashi 算法提取协方差子块 §

展开：如何从稀疏 Σ⁻¹ 高效恢复协方差子块

对 ${\mathbf{\Sigma }}^{-1}={\mathbf{LDL}}^T$ 分解后，可以用后向代换提取 $\mathbf{\Sigma }$ 的非零子块，无需显式求逆整个大矩阵。

从最后一个块开始： ${\mathbf{\Sigma }}_{K,K}={\mathbf{D}}_{K,K}^{-1}$

然后向前递推（$j\ge k$）： ${\mathbf{\Sigma }}_{j,k}=\delta (j,k){\mathbf{D}}_{j,k}^{-1}-{\sum }_{\ell =k+1}^K{\mathbf{\Sigma }}_{j,\ell }{\mathbf{L}}_{\ell ,k}$

“四角法则”保证所有需要的子块都可以被完整计算：若 ${\mathbf{L}}_{k,i}\ne 0$ 且 ${\mathbf{L}}_{j,i}\ne 0$，则 ${\mathbf{L}}_{j,k}\ne 0$。

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6.5 Sigma 点：无导数计算期望 §

🎯 直觉：用有限个代表点近似积分 §

计算 $E_q[f(\mathbf{x})]$ 本来需要对所有可能的 $\mathbf{x}$ 积分。Sigma 点用少数几个”代表性采样点”来近似这个积分：

$E_q[f(\mathbf{x})]\approx {\sum }_{\ell }{w}_{\ell }f({\mathbf{x}}_{\ell })$

sigma 点的生成（$q_k=\mathcal{N}({\mathbf{\mu }}_k,{\mathbf{\Sigma }}_{kk})$，维度 $n_k$）： ${\mathbf{x}}_{\ell }={\mathbf{\mu }}_k\pm \sqrt{(n_k+\kappa ){\mathbf{\Sigma }}_{kk}}\text{ 的第 }\ell \text{ 列}$

生成 $2n_k+1$ 个点（含中心点），权重 $w_0=\kappa /(n_k+\kappa )$，$w_{\ell }=1/(2(n_k+\kappa ))$。

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🔑 概念层：Stein 引理——避免显式计算导数 §

利用 Stein 引理，可以完全避免显式计算 $\varphi$ 的导数：

$E_q\left[\frac{\partial \varphi }{\partial {\mathbf{x}}^T}\right]={\mathbf{\Sigma }}^{-1}{E}_q[(\mathbf{x}-\mathbf{\mu })\varphi (\mathbf{x})]$

$E_q\left[\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial \mathbf{x}\partial {\mathbf{x}}^T}\right]={\mathbf{\Sigma }}^{-1}{E}_q[(\mathbf{x}-\mathbf{\mu })(\mathbf{x}-\mathbf{\mu }{)}^T\varphi (\mathbf{x})]{\mathbf{\Sigma }}^{-1}-{\mathbf{\Sigma }}^{-1}{E}_q[\varphi (\mathbf{x})]$

实际意义：只需要能调用”给定 $\mathbf{x}$，计算 $\varphi (\mathbf{x})$ 的值”，不需要推导 $\varphi$ 的解析导数！这极大简化了实现。

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6.6 参数估计：EM 算法 §

🎯 直觉：鸡和蛋的问题 §

问题：如果我们不知道模型参数（如噪声协方差 $\mathbf{Q},\mathbf{R}$），如何估计状态？反之，如果不知道状态，如何学习参数？

答案：EM 算法——轮流做两件事：

重复直到收敛：
  E 步：固定参数 θ，用 ESGVI 估计状态轨迹 x
  M 步：固定状态估计 q(x)，更新参数 θ

两步都让目标函数（负对数似然）单调不增，保证收敛（到局部最优）。

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🔑 概念层：M 步的闭合解 §

固定状态估计后，参数更新有解析解。以噪声协方差为例：

${\mathbf{Q}}^{\text{new}}=\frac{1}{K}{\sum }_{k=1}^K{E}_{q_k}\left[{\mathbf{e}}_{v,k}{\mathbf{e}}_{v,k}^T\right]$

其中 ${\mathbf{e}}_{v,k}={\mathbf{x}}_k-\mathbf{f}({\mathbf{x}}_{k-1})$ 是运动残差。

重要细节：这里的期望包含了状态估计不确定性的修正项（区别于简单地用平均残差平方）。

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🧮 数值示例：同时估计轨迹和噪声协方差 §

场景：机器人沿直线运动，我们不知道过程噪声有多大。

初始猜测：$Q_{\text{init}}=0.1$（真实值 $Q_{\text{true}}=1.0$）

EM 迭代	$Q$ 估计	位置估计误差
0（初值）	0.10	大（过度相信运动模型）
1	0.42	中
3	0.87	小
5	0.98	很小（接近真实值）

EM 迭代同时改善了参数估计和状态估计，两者相互促进。

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6.7 方法对比：升级版精度阶梯 §

🔑 概念层：完整比较表 §

方法	本质	计算 sigma 点	后验质量	计算代价
MAP	GVI 的 1 点近似	1 个（均值）	仅均值精确	最低
EKF	在线 MAP	1 个	偏差大	低
SPKF / UKF	先验 sigma 点	$2N+1$ 个（先验）	均值+协方差近似	中
ISPKF	迭代先验 sigma	$2N+1$ 个（先验，迭代）	更好	中高
ESGVI	后验 sigma 点	$2N+1$ 个（后验，迭代）	最接近真实后验	高

核心规律：越多 sigma 点 + 越靠近真实后验取点 → 越好的近似质量。

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📐 推导层：GVI 与线性高斯情形的一致性 §

展开：线性高斯下 GVI 一步收敛到批量 MAP

对于线性高斯系统 $\varphi (\mathbf{x})=\frac{1}{2}(\mathbf{z}-\mathbf{Hx}{)}^T{\mathbf{W}}^{-1}(\mathbf{z}-\mathbf{Hx})$，期望 Hessian 等于 Hessian 本身（因为是二次函数）：

$E_q\left[\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial \mathbf{x}\partial {\mathbf{x}}^T}\right]={\mathbf{H}}^T{\mathbf{W}}^{-1}\mathbf{H}$

这是一个常数，与 $q$ 无关！因此 GVI 在一步迭代后就精确收敛，且结果与批量 MAP（Cholesky 平滑器）完全一致。

结论：GVI 是批量线性高斯估计的严格推广。在线性情形下它们等价；在非线性情形下 GVI 更准确。

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本章自检清单 §

阅读完本章，你应该能回答：

• 为什么选 KL$(q\Vert p)$ 而不是 KL$(p\Vert q)$？（期望的可计算性）
• GVI 与 MAP 的本质区别是什么？（用多个 sigma 点 vs. 用 1 个点近似期望）
• 为什么 ESGVI 可以处理大规模轨迹问题？（因子化 → 精确稀疏 → 块三对角）
• Stein 引理的作用是什么？（将导数期望化为函数值期望，避免显式求导）
• EM 算法的 E 步和 M 步分别做什么？（E 步=估计状态，M 步=更新参数）

如果以上都清楚，你掌握了变分推断的核心框架！

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延伸阅读与代码 §

Python 实现（ESGVI 核心）：

import numpy as np
 
def sigma_points(mu, Sigma, kappa=0):
    """生成 UKF sigma 点"""
    n = len(mu)
    L = np.linalg.cholesky((n + kappa) * Sigma)
    points = [mu]
    weights = [kappa / (n + kappa)]
    for i in range(n):
        points.append(mu + L[:, i])
        points.append(mu - L[:, i])
        weights.extend([1/(2*(n+kappa)), 1/(2*(n+kappa))])
    return np.array(points), np.array(weights)
 
 
def gvi_update_step(mu, Sigma_inv, phi_func, Sigma_blocks):
    """
    ESGVI 单次迭代
    phi_func: 接收 x，返回 phi(x) 的值（无需导数！）
    Sigma_blocks: 当前协方差子块（用于 sigma 点生成）
    """
    # 生成 sigma 点
    n = len(mu)
    Sigma = np.linalg.inv(Sigma_inv)  # 简化；实际用 Takahashi 提取子块
    pts, wts = sigma_points(mu, Sigma)
 
    # 计算期望（用 Stein 引理，只需 phi 值）
    phi_vals = np.array([phi_func(x) for x in pts])
 
    E_phi = np.sum(wts * phi_vals)
 
    # 期望梯度（Stein 引理）
    deviations = pts - mu  # (2n+1) x n
    E_grad = Sigma_inv @ np.sum(
        wts[:, None] * deviations * phi_vals[:, None], axis=0
    )
 
    # 期望 Hessian（Stein 引理）
    outer = deviations[:, :, None] * deviations[:, None, :]  # (2n+1) x n x n
    E_hess = (Sigma_inv @
              np.sum(wts[:, None, None] * outer * phi_vals[:, None, None], axis=0)
              @ Sigma_inv - Sigma_inv * E_phi)
 
    # 更新精度矩阵和均值
    Sigma_inv_new = E_hess
    delta_mu = np.linalg.solve(Sigma_inv_new, -E_grad)
    mu_new = mu + delta_mu
 
    return mu_new, Sigma_inv_new
 
 
def esgvi(mu0, Sigma_inv0, phi_func, n_iter=10):
    """完整 ESGVI 迭代"""
    mu = mu0.copy()
    Sigma_inv = Sigma_inv0.copy()
 
    for i in range(n_iter):
        Sigma_blocks = None  # 实际实现用 Takahashi 提取
        mu_new, Sigma_inv_new = gvi_update_step(mu, Sigma_inv, phi_func, Sigma_blocks)
 
        if np.linalg.norm(mu_new - mu) < 1e-6:
            break
 
        mu = mu_new
        Sigma_inv = Sigma_inv_new
 
    return mu, Sigma_inv
 
 
def em_step_covariance(residuals, state_covariances):
    """
    EM M 步：更新噪声协方差
    residuals: 每个时刻的残差期望 [K x m]
    state_covariances: 每个时刻的状态协方差 [K x n x n]
    """
    K = len(residuals)
    # Q_new = (1/K) Σ_k [e_k e_k^T + 协方差修正项]
    Q = np.mean([
        residuals[k:k+1].T @ residuals[k:k+1] + state_covariances[k]
        for k in range(K)
    ], axis=0)
    return Q

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下一章转向三维几何：旋转矩阵和位姿不是普通向量，需要特殊的数学工具（Lie 群）。